Pola Bilangan dan Barisan Aritmetika

A. Pengertian barisan bilangan

Barisan bilangan adalah rangkaian bilangan yang disusun menurut aturan (pola) tertentu.

Contoh :

1. 1, 2, 3, 4, 5, …; disebut barisan bilangan asli

2. 1, 3, 5, 7, 9, …; disebut barisan bilangan ganjil

3. 2, 4, 6, 8, 10, …; disebut barisan bilangan genap

4. 1, 4, 9, 16, 25, …; disebut barisan bilangan persegi

            Setiap bilangan yang tersusun dalam barisan itu disebut suku. Secara umum, sebuah barisan bilangan dinyatakan sebagai berikut:

U1, U2, U3, U4, …Un

U₁ adalah suku pertama

U₂ adalah suku kedua

U₃ adalah suku ketiga

U₄ adalah suku keempat

B. Pola bilangan suku ke-n

            Selain definisi di atas, barisan bilangan juga didefinisikan sebagai suatu fungsi yang domainnya adalah himpunan bilangan asli dan dinyatakan dengan:

f : n ---> Un

dengan U_n  = f(n) dan n bilangan asli.

Bentuk di atas disebut rumus suku ne-n dari barisan bilangan

Contoh Soal

1. Tentukan suku ke-n dari barisan bilangan 1, 3, 5, 7, …!

2. Tulislah 4 suku yang pertama dari barisan dengan rumus U_n  = 2n + 1!

Jawab:

       1. U₁ = 1 = 2(1) – 1

            U₂ = 2 = 2(2) – 1

            U₃ = 3 = 2(3) – 1

            U₄ = 4 = 2(4) – 1

            U_n = … = 2n – 1

            Jadi, rumus suku ke-n nya adalah U_n = 2n – 1

       2. U_n = 2n + 1

            U₁ = 2(1) + 1 = 3

            U₂ = 2(2) + 1 = 5

            U₃ = 2(3) + 1 = 7

            U₄ = 2(4) + 1 = 9

            Jadi, barisannya adalah 3, 5, 7, 9, …

C. Pengertian deret

Jika U₁, U₂, U₃, …, U_n merupakan barisan bilangan, maka deret adalah penjumlahan suku – suku barisan itu dalam bentuk U₁ + U₂ + U₃ + … + U_n . Jumlah n suku yang pertama suatu deret dinyatakan dengan:

Sn = U1 + U2 + U3 + … + Un

Contoh Soal

Diketahui suatu deret 1 + 3 + 5 + 7 + …

Hitunglah:

a. jumlah dua suku yang pertama!

b. jumlah lima suku yang pertama!

c. jumlah n suku yang pertama!

Jawab:

  a. S2 = 1 + 3                          b. S₅ = 1 + 3 + 5 + 7 + 9               c. S_n = n²

            = 4 (= 2²)                               = 25 (= 5² )

  

Barisan Aritmetika

            Sebuah barisan bilangan U₁, U₂, U₃, U₄, …U_n disebut barisan aritmetika jika berlaku U₂ – U₁ = U₃ – U₂ = U₄ – U₃ = U_n – U_{n - 1} = konstanta. Konstanta istu disebut beda dan dinyatakan dengan b.    

b = Un – Un - 1

Jika suku pertama U₁ ini dinamakan a, maka rumus suku ke-n barisan aritmetika adalah:

Un = a + (n – 1)b

    

     Un = Suku ke-n

     a     = suku pertama

     b     = beda

Contoh Soal

1. Tentukan suku ke-100 barisan aritmetika 5, 8, 11, …!

2. Tentukan rumus suku ke-n dari barisan aritmetika 40, 35, 30, …!

3. Diketahui barisan aritmetika dengan U₃ = 3 dan U₈ = 13

    Tentukan yang berikut ini !

    a. Nilai suku pertama dan bedanya

    b. Suku ke-50

    c. n jika U_n = 147

Jawab:

1. a = 5, b = 11 – 8 = 8 – 5 = 3                   2. a = 40, b = 35 – 40 = 30 – 35 = -5

    n = 100                                                           U_n = a + (n – 1)b

    U_n    = a + (n – 1 )b                                       U_n = 40 + (n – 1)(-5)

    U₁₀₀ = 5 + (100 – 1)3                                        = 40 – 5n + 5

= 5 + (99)3                                                 = 45 – 5n

= 5 + 297                                   Jadi, suku ke-n-nya adalah U_n = 45 – 5n.

= 302

Jadi, suku ke-100-nya adalah 302.

3. a. U₈ = a + 7b = 13                                   b. U_n  = a + (n – 1)b           

        U₃ = a + 2b = 3     _                                  U₅₀ = -1 + (50 – 1)2

                       5b = 10                                              = -1 + (49)2

                         b = 2                                         = -1 + 98

                                                                                = 97

        b = 2, maka:                                             Jadi, suku ke-50 adalah 97.

        a + 2b = 3                                              c. U_n    = a + (n – 1)b

        a + 2(2) = 3                                               147 = -1 + (n – 1)2

        a + 4 = 3                                                    147 = -1 + 2n - 2

        a = 3 – 4                                                     -2n  = -3 - 147

        a = -1                                                          2n    = 150

    Jadi , suku pertama = -1 dan beda = 2              n    = 150/2

                                                                              n    = 75   

                                                                            Jadi, U_n = 147 terjadi pada n = 75.