Pola, Barisan dan Deret

1. Pola

Masalah matematika yang biasanya kita temui dalam kehidupan sehari-hari kerap kali berupa bilangan–bilangan. Bilangan tersebut dalam perhitungan ada yang diterapkan langsung tetapi ada pula bilangan yang membentuk suatu aturan atau pola tertentu. Pernahkah Anda melihat susunan buah mangga, apel ataupun buah lainnya yang disusun di supermarket atau pedagang buah? Atau susunan minuman kaleng atau susu yang di pajang di supermarket? Baik disengaja atau pun tidak sebenarnya mereka telah menerapkan keunikan dari suatu barisan atau pola bilangan. Masalah-masalah dalam kegiatan sehari-hari tanpa kita sadari terutama dalam kegiatan ekonomi merupakan penerapan pola barisan atau deret.

2. Barisan

Masalah barisan sebenarnya sudah sejak zaman Yunani kuno muncul sebagai salah satu masalah yang menarik perhatian. Sejak 2400 tahun yang lalu konsep barisan yang kita kenal dalam matematika mulai banyak dibicarakan orang, yaitu sejak seorang ahli filsafat Yunani yang bernama Zeno mengemukakan suatu krisis dalam matematika. Krisis matematika itu dikenal sebagai paradoks Zeno, sebagai berikut:

“Seorang pelari yang harus menempuh suatu jarak tertentu dengan cara melampaui setengah dari setiap jarak yang ditempuh, sebagai akibatnya pelari ini tidak akan sampai pada ujung dari jarak yang akan ditempuhnya”. Permasalahan paradoks Zeno baru dapat diatasi dengan diketemukannya masalah barisan, terutama barisan tak hingga.

Anda mungkin pernah menjumpai sebagian dari barisan, misalnya ketika mencari rumah yang bernomor 11 mungkin Anda menerka bahwa rumah yang dicari itu ada pada sisi lain dari jalan tersebut. Pada hakekatnya unsur-unsur (u) atau suku-suku (s) barisan adalah nilai-nilai dari suatu fungsi u (fungsi s) yang daerah asalnya (domain f-nya) adalah himpunan bilangan asli A = { 1, 2, 3, ...}. Dalam hal ini kita mempunyai pemetaan (fungsi) dari himpunan A = { 1, 2, 3, ...} ke himpunan unsur-unsur pada barisan. Aturan yang menghubungkan daerah asal (domain f) ke daerah hasil (range f) merupakan suatu rumus untuk barisan tersebut.

Jadi barisan merupakan sekumpulan bilangan yang telah terurut dan memiliki pola tertentu (suatu aturan tertentu). Barisan terbagi atas dua jenis yaitu barisan aritmatika dan barisan geometri.

Barisan aritmatika merupakan barisan bilangan yang memiliki selisih/beda yang tetap.

Barisan geometri yaitu sekumpulan bilangan yang memiliki rasio atau faktor pengali yang sama, atau dengan kata lain barisan bilangan yang tiap sukunya diperoleh dari suku sebelumnya dengan mengalikan atau membagi dengan suatu bilangan yang sama.

3. Deret

Selain masalah barisan ada pula cerita yang berkaitan dengan konsep deret dalam matematika. Ada suatu cerita tentang seorang hamba yang meminta kepada rajanya untuk diberi beras dengan cara meletakkan 1 butir beras pada kotak pertama sebuah papan carur. Kemudian meletakkan 2 butir pada kotak kedua, 4 butir pada kotak ketiga, dan seterusnya, sehingga setiap kotak selanjutnya harus diisi dengan beras sebanyak kuadrat dari jumlah beras yang ada pada kotak sebelumnya. Ternyata beras seluruh negeri tidak cukup untuk memenuhi permintaan hamba ini. Deret merupakan jumlah yang ditunjuk oleh suku-suku dalam suatu barisan bilangan.

Deret geometri tak hingga adalah salah satu bentuk istimewa dari deret geometri. Keistimewaannya terletak pada banyak unsur-unsurnya yaitu banyaknya tak terhingga. Karenanya didefinisikan bahwa deret geometri tak hingga adalah suatu deret geometri yang banyak unsur-unsur atau suku-sukunya tak hingga. Sebagai akibatnya tentu saja rumus umum jumlah n suku barisan geometri tak hingga berbeda dengan rumus umum jumlah n suku deret geometri. Adapun bentuk umum deret geometri tak hingga dapat ditulis dalam bentuk berikut (akibat dari bentuk baku deret geometri)

a + ar + ar2 + ar3 + …