PENGUJIAN HIPOTESIS

4.1  Pengertian Hipotesis

Hipotesis dapat diartikan sebagai suatu pernyataan sementara, asumsi atau dugaan mengenai nilai parameter populasi. Kebenaran dari dugaan tersebut masih lemah sehingga perlu diuji kebenarannya. Pengujian hipotesis berhubungan dengan penerimaan atau penolakan suatu hipotesis. Kebenaran (benar atau salahnya) suatu hipotesis tidak akan pernah diketahui dengan pasti kecuali kita memeriksa seluruh populasi. Kita tidak mungkin memeriksa seluruh populasi, sehingga yang dapat kita lakukan hanyalah mengambil sampel secara acak dan menggunakan informasi dari sampel itu untuk menerima atau menolak suatu hipotesis.

4.2 Dua Macam Kesalahan.

Dalam pengujian hipotesis akan terjadi dua macam kesalahan yaitu:  Kesalahan tipe 1, yaitu menolak hipotesis yang seharusnya tidak ditolak. . Jika digunakan tingkat signifikansi 5% berarti ada probabilitas sebesar 5% untuk menolak H₀, ternyata H₀ tersebut benar. Misalkan dalam uji dua sisi dengan distribusi Z kita peroleh nilai Z = -3,03. Ini berarti nilai probabilitas P(0 < Z < 3,03) = 0,4988 dan P(Z>|3,03|) = 2(0,5 – 0,4988) = 0,0024. Dengan demikian dapat dikatakan bahwa probabilitas penolakan H₀ padahal H₀ benar adalah 0,24 persen. Dengan kata lain bahwa kemungkinan salah atas keputusan tersebut adalah sebesar 0,24 persen.

Kesalahan tipe 2, yaitu tidak menolak hipotesis yang seharusnya ditolak.Penerimaan suatu hipotesis terjadi karena tidak cukup bukti untuk menolak hipotesis tersebut dan bukan karena hipotesis itu benar. Begitu pula penolakan suatu hipotesis terjadi karena tidak cukup bukti untuk menerima hipotesis tersebut dan bukan karena hipotesis itu salah.

4.3  Prosedur Pengujian Hipotesis.

Langkah I.Menentukan hipotesis nol (H₀) dan hipotesis alternatif (H_a).

H₀ merupakan hipotesis nilai parameter dugaan yang dibandingkan dengan hasil perhitungan dari sampel. H₀ ditolak hanya jika hasil perhitungan dari sampel acak tidak mungkin memiliki kebenaran terhadap hipotesis yang ditentukan terjadi. H_a diterima hanya jika H₀ ditolak.

Langkah II.Menentukan tingkat signifikansi yang digunakan.

Tingkat signifikansi adalah standar statistik yang digunakan untuk menolak H₀. Jika ditentukan tingkat signifikansi 5 persen (a = 0,05), H₀ ditolak hanya jika hasil perhitungan dari sampel sedemikian berbeda dengan nilai dugaan (yang dihipotesakan). Baik hipotesis perbedaan maupun lebih besar akan memiliki kesempatan untuk terjadi 5% atau kurang, atau memiliki probabilitas 5% atau kurang.

Langkah III.Memilih uji statistik.

Uji statistik akan merupakan salah satu dari statistik sampel atau suatu versi yang ditransformasikan dari statistik sampel. Misalnya menguji suatu nilai hipotesis dari rata-rata populasi, rata-rata dari suatu sampel acak yang diambil dari populasi tersebut dapat dipakai sebagai uji statistik. Jika distribusi sampling dari rata-rata merupakan distribusi normal, nilai rata-rata sampel secara khusus ditransformasikan ke suatu nilai Z.

Langkah IV.Menentukan nilai kritis atau nilai-nilai uji statistik.

Ada kemungkinan terjadi satu atau dua nilai, tergantung pada uji satu sisi atau uji dua sisi. Dalam setiap kasus, nilai kritis mengidentifikasi nilai dari uji statistik untuk menolak hipotesis nol.

Langkah V.Menghitung nilai hitung dari uji statistik.

Misalnya dalam pengujian nilai rata-rata populasi yang ditentukan, suatu sampel yang diambil secara acak kita tentukan, kemudian nilai rata-rata sampel kita hitung. Jika nilai kritis ditentukan dengan nilai Z, nilai rata-rata sampel diubah atau ditransformasikan ke dalam nilai Z.

Langkah VI.Membuat keputusan.                     

Nilai dari sampel statistik yang diobservasi dibandingkan dengan nilai kritis dari uji statistik (nilai tabel). Apabila nilai hitung dari uji statistik berada di daerah penerimaan  hipotesis nol kita putuskan menerima hipotesis nol. Dan jika nilai hitung statistik berada di daerah kritis kita putuskan menolak hipotesis nol. Jika hipotesis nol ditolak maka hipotesis alternatif diterima, dan sebaliknya.

4.4  Uji Mengenai Nilai Tengah (Rata-rata).

Uji mengenai nilai rata-rata adalah pengujian hipotesis antara nilai rata-rata populasi atau sampel dengan nilai rata-rata dugaan (hipotesis). Nilai hipotesis dari rata-rata populasi disimbolkan denganm_h. Tiga pasangan hipotesis nol tentangrata-rata suatu populasi dengan hipotesis alternatifnya adalah:

(a). H₀: m ≤ m_h      H_a: m>m_h

(b). H₀: m³m_hH_a: m<m_h

(c). H₀: m = mh      H_a: m¹mh

Model (a) dan (b) merupakan uji satu sisi, (a) uji sisi kanan, (b) uji sisi kiri, sedangkan (c) adalah uji dua sisi.

Tabel di bawah ini memberikan nilai-nilai H₀ dan H_a, statistik uji dan wilayah kritik pada uji hipotesis nilai rata-rata untuk populasi yang berdistribusi normal atau hampir normal dan a diketahui.

Tabel 4.1 Uji-Uji Mengenai Nilai Rata-rata

Sifat penyebaran Populasi	Statistik Uji	H0	Ha	Wilayah kritik
s diketahui atau n ³ 30		m = m0	m<m0 m>m0 m¹m0	Z < -Za Z > Za Z < -Za/2 dan Z > Za/2
s tidak diketahui dan n < 30	v = n-1, s = simpangan baku	m = m0	m<m0 m>m0 m¹m0	t < -ta t > ta t < -ta/2 dan t > ta/2

Contoh 1.

Sebuah perusahaan manufaktur komputer menyebutkan bahwa umur ekonomis rata-rata komputer yang diproduksinya adalah 10 tahundengan simpangan baku 1,5 tahun (populasi). Suatu perusahaan pesaing mengklaim pernyataan tersebut bahwa umur ekonomis rata-rata komputer tersebut adalah 8 tahun. Jika anda adalah staf Yayasan Lembaga Konsumen Indonesia, kesimpulan apa yang dapat anda berikan untuk kedua pernyataan tersebut, jika dari 16 contoh diperoleh umur ekonomis rata-rata  Gunakan taraf nyata uji 0,05 dan asumsikan populasi umur ekonomis menyebar normal.

Jawab:

Karena populasi berdistribusi normal dan s diketahui maka rumus statistik uji yang digunakan adalah yang pertama.

Langkah I.

H₀: m = 10 tahun

H₁: m< 10 tahun

Langkah II.

Taraf signifikansi a = 0,05 = 5%

Langkah III.

Staistik uji yang digunakan adalah distribusi Z, , m₀ = 10.

Langkah IV.

Pengujian akan terjadi di sebelah kiri karena H_a menentukan m kurang dari 10. Karena taraf signifikansi sebesar 5% maka cari nilai z tabel yang besar luasannya mendekati  0,5 – 0,05 = 0,45. Dari tabel distribusi z diperoleh nilai z sebesar 1,645, tetapi karena berada di sebelah kiri maka z = -1,645. Jadi untuk menolak H0, maka nilai z hitung harus lebih kecil  dari z tabel = -1,645

Langkah V.

Menghitung nilai z.

Langkah VI.

Keputusannya adalah menerima H₀ karena nilai z hitung (z = -1,333) lebih besar dari z tabel  (z = -1,645). Artinya, pernyataan perusahaan komputer tersebut benar bahwa nilai rata-rata dari umur ekonomis komputer tersebut sebesar 10 tahun dan simpangan baku sebesar 1,5 tahun pada tingkat kepercayaan sebesar (1-a) = 1-0,05 = 95%.

Karena nilai Z hitung berada di daerah penerimaan maka hipotesis h₀ diterima, atau pernyataan perusahaan manufaktur computer bahwa umur ekonomis rata-rata koomputernya 10 tahun adalah benar.

Contoh 2.

Setelah diadakan perbaikan, sebuah mesin otomatis dapat memproduksi suatu jenis peralatan yang memiliki diameter 25 milimeter (mm). sebagian ukuran-ukuran diameter tersebut berdistribusi normal. Rata-rata diameter 10 peralatan yang diambil secara acak digunakan untuk menguji apakah mesin tersebut bekerja dengan baik (dapat memproduksi peralatan yang cocok dengan diameter 25 mm atau tidak).

1. Lakukanlah pengujian hipotesis dengan tingkat signifikansi 5 persen jika rata-rata sampel 25,02 mm dengan standar deviasi sampel 0,024 mm
2. Apakah maksud dari hasil pengujian?

Jawab:

Pengujian yang digunakan adalah pengujian dua sisi karena hipotesis H₁ menduga diameter tidak sama dengan 25 mm (bisa kurang bisa lebih).

H₀ : m = 25 mm

H₁ : m¹ 25 mm

a = 5%,  mm, s = 0,024 mm. Karena s tidak diketahui dan n < 30, maka uji statistik yang digunakan adalah distribusi t, .

Karena taraf signifikansi sebesar 5% maka nilai t tabelnya adalah t_0,025;9 = 2,262 (lihat pada tabel distribusi t untuk uji satu sisi dengan a = 0,025 atau untuk uji dua sisi dengan a = 0,05).

Ini berarti H₀ akan ditolak jika nilai t sampel kurang dari -2,262 atau lebih dari 2,262, dengan kata lain akan menerima H₀ bila |t| < 2,262.

Hitung nilai t, .

Karena nilai t = -2,64 lebih kecil dari t tabel  -2,262, maka dapat disimpulkan  pernyataan bahwa mesin tersebut dapat berproduksi dengan baik (dengan diameter rata-rata 25 mm) ditolak.

5        Uji Hipotesis Tentang Variansi

Variansi merupakan ukuran penyebaran yang paling popular. Selain dapat menjelaskan penyebaran data, variansi juga banyak digunakan dalam uji hipotesis, dan dalam menentukan ukuran sample untuk mencapai tingkat ketelitian tertentu.

Kalau kita menguji rata-rata m untuk populasi normal, kita perlu mengetahui nilai simpangan bakus. Nilai yang diketahui ini umumnya diperoleh dari pengalaman  dan untuk menentukan besarnya perlu diadakan pengujian. Untuk ini kita misalkan populasi berdistribusi normal dengan variansi s² dan dari populasi diambil sebuah sample acak berukuran n. Variansi sample yang besarnya s² dihitung. Misalkan dari pengalaman diperoleh dugaan bahwa nilai variansi adalah .  Dalam hal ini tiga pasang hipotesis dapat diajukan, yaitu:

1)      H₀:s² =  melawan H₁: s²¹   atau uji dua pihak.

2)      H₀:s² =  melawan H₁: s²>  atau uji pihak kanan.

3)      H₀:s² =  melawan H₁: s²<  atau uji pihak kiri.

Statistik uji yang digunakan adalah statistik chi kuadrat dengan  rumus:

Jika H₀ benar, statistik uji  berdistribusi chi kuadrat dan derajat kebebasan dk = n‑1 dengan demikian, jika dalam pengujian digunakan taraf signifikan a, maka criteria pengujiannya adalah:

1. Untuk uji hipotesis dua pihak, H₀ diterima jika _1-a/2 ≤ ≤ _a/2.
2. Untuk uji hipotesis pihak kanan, H₀ diterima jika ≤ _a.
3. Untuk uji hipotesis pihak kiri, H₀ diterima jika ³ ₍₁._a)

Nilai  diperoleh dari tabel distribusi chi-kuadrat dengan derajat kebebasan dk = n – 1 dengan peluang p yang biasa juga ditulis dengan _p;(n-1).

Contoh 1.

Proses pembuatan skrup dikontrol sedemikian rupa, sehingga variansi diameternya paling tinggi 0,50 mm. Akhir-akhir ini diduga bahwa diameter skrup sudah mempunyai variabilitas yang lebih besar. Untuk menguji dugaan ini, 20 skrup diambil secara acak dan diameternya diukur. Ternyata sample menunjukkan simpangan baku 0,90 mm. Apakah variabilitas diameter skrup sudah membesar, sehingga mesin pembuat skrup perlu distel. Gunakan taraf signifikan 5%

Jawab:

Hipotesisnya H₀: s² = 0,50 melawan H₁: s2> 0,50.

Diketahui s = 0,90 sehingga s² = 0,90² = 0,81 dan =0,50, n = 20, a = 5%

Tabel distribusi chi kuadrat adalah 0,05;19=30,144.

Karena nilai hitung sebesar 30,78 > 30,144 (nilai tabel chi kuadrat) maka H₀ ditolak pada taraf signifikan 5%. Dengan kata lain bahwa variansi diameter skrup telah menjadi lebih besar sehingga perlu diadakan perbaikan terhadap mesin pembuat skrup tersebut.

6        Kesamaan Dua Variansi

Dalam menguji kesamaan dua rata-rata, berulang kali diperlukan informasi tentang kesamaan variansi dari dua populasi agar proses pengujian dapat dilakukan. Kalau ternyata variansi tidak sama, pengujian pun dilakukan dengan cara pendekatan. Oleh karena itu, dalam situasi tertentu, sebelum pengujian kesamaan rata-rata dilakukan, pengujian kesamaan variansi perlu dilakukan terlebih dahulu. Populasi-populasi  dengan variansi yang sama besar disebut populasi dengan variansi homogen, sebagai lawan atau komplemen dari populasi dengan variansi heterogen.

Misalkan kita mempunyai dua populasi normal dengan variansi masing-masing  dan . Dalam hal ini, kitapun memiliki tiga pasang hipotesis, yaitu uji dua pihak, uji pihak kanan dan uji pihak kiri, yang berturut-turut dinyatakan sebagai berikut:

1. H₀:  =  melawan H₁: ¹

2. H₀:  =  melawan H₁: >

3.H₀:  =  melawan H₁: <

Berdasarkan sampel acak yang masing-masing secara bebas diambil dari populasi tersebut, kita dapat menguji pasangan hipotesis ini dengan uji F. Jika sampel dari populasi pertama berukuran n₁ dengan variansi , dan sampel dari populasi kedua berukuran n₂ dengan variansi , maka statistik F dapat dihitung dengan rumus :

, yang memiliki distribusi Snedecor F dengan derajat kebebasan (n₁-1, n₂-2), dengan asumsi hipotesis nol (H₀) benar. Derajat kebebasan n₁-1 disebut derajat kebebasan pembilang dan derajat kebebasan n₂-1 disebut derajat kebebasan penyebut.

Kriteria pengambilan keputusan adalah:

1. Untuk uji hipotesis dua pihak, H₀ diterima jika

dan H₀­ ditolak dalam hal lainnya.

2. Untuk uji hipotesis pihak kanan, H₀ diterima jika

dan H₀­ ditolak dalam hal lainnya.

3. Untuk uji hipotesis pihak kiri, H₀ diterima jika

dan H₀­ ditolak dalam hal lainnya

Dimana

Contoh:

Ada dua cara pengukuran kelembaban udara yang akan dilakukan. Cara pertama dilakukan 10 kali yang menghasilkan variansi  = 24,7 dan cara kedua dilakukan 13 kali dengan variansi  = 37,2. Dapatkah diterima dugaan bahwa cara pengukuran kedua itu mempunyai variansi yang lebih besar? Gunakan taraf signifikan a = 5%.

Jawaban:

Hipotesisnya:

H₀:  =  melawan H₁: <

Diketahui n₁ = 10,  = 24,7, n₂ = 13 dan  = 37,2

Wilayah kritiknya:

_{= =}

F hitung =

Karena F hitung lebih besar dari F tabel maka H₀ diterima atau kedua variansi tersebut dianggap sama besar atau kedua cara pengukuran tersebut tidak berbeda.

7        Uji Hipotesis Tentang Proporsi

Uji hipotesis mengenai proporsi diperlukan di banyak bidang. Misalnya seorang politikus tentu ingin mengetahui berapa proporsi pemilih yang akan memilih partainya dalam pemilihan umum mendatang. Contoh lain, misalnya semua pabrik sangat berkepentingan mengetahui proporsi barang yang cacat selama pengiriman.

Misalkan kita mempunyai populasi binom degan proporsi peristiwa A = p. Berdasarkan sebuah sample acak yang diambil dari populasi itu akan diuji mengenai uji dua pihak:

H₀: p = p₀

H₁: p¹p₀

dengan p₀ sebuah harga yang diketahui. Dari sample berukuran n itu kita hitung proporsi sample x/n adanya peristiwa A. Dengan menggunakan pendekatan distribusi normal maka untuk pengujian ini digunakan statistik z yang rumusnya:

Kriteria untuk pengujian ini dengan taraf signifikan a adalah terima H₀ jika

-z_(1‑a)/2 < z < z_(1‑a)/2

Contoh:

Seorang pemborong menyatakan bahwa di 70% rumah-rumah yang baru dibangun di kota Richmond dipasang suatu alat pemompa udara panas. Apakah anda setuju pernyataan tersebut  bila di antara 15 rumah baru yang diambil secara acak terdapat 8 rumah yang menggunakan pompa udara panas. Gunakan taraf signifikan 0,10.

Jawab:

H₀: p = 0,7 dan H₁: p¹ 0,7

Wilayah kritik -z_(0,1/2) = -1,645 dan z_(1-0,1/2) = 1,645

Sedang nilai z hitung dengan diketahui x = 8, n = 15 dan p₀ = 0,7 sehingga  

Karena z hitung berada di antara -1,645 dan 1,645 maka pernyataan pemborong tersebut diterima.

8        Untuk Uji Proporsi Pihak Kanan.

Jika yang diuji dari populasi binom itu berbentuk:

H₀: p = p₀

H₁: p>p₀  maka pengujian ini merupakan uji pihak kanan, tolak H₀ jika z ³ z_0,5-a.

Contoh:

Suatu obat penenang ketegangan syaraf diduga hanya 60% efektif. Hasil percobaan dengan obat baru terhadap 100 orang dewasa penderita ketegangan syaraf yang diambil secara acak menunjukkan bahwa obat baru itu 70% efektif. Apakah ini merupakan bukti yang cukup untuk menyimpulkan bahwa obat baru itu lebih baik dari pada yang beredar sekarang?. Gunakan taraf nyata 0,05.

Jawab:

H₀: p = 0,6

H₁: p> 0,6

Wilayah kritik, z_0,5-0,05 = z_0,45 = 1,645

X /n = 0,7 atau x = 0,7x100 = 70, p₀ = 0,6

Z hitung adalah

Karena z hitung lebih besar dari z tabel (2,041241 >1,645) maka H₀ ditolak.

  

9        Untuk Uji Proporsi Pihak Kiri.

Jika yang diuji dari populasi binom itu berbentuk:

H₀: p = p₀

H₁: p<p₀ maka pengujian ini merupakan uji pihak kiri, tolak H₀ jika z ≤ -z_0,5-a.

Contoh:

Akan diuji H_0­: p = 0,3 dan  H_1: ­p< 0,3. Sampel acak berukuran n = 425 memberikan x/n = 0,28. bagaimana hasil pengujian dengan a = 0,05.

Jawab:

Wilayah kritik, -z_{0,5– 0,05}= -1,645..

Diketahui x = 0,28*425 = 119

 Z hitung

Karena z hitung lebih besar dari z tabel (-0,89974 > -1,645) maka H₀ diterima pada taraf nyata 0,05.

Latihan :

1. Bagian pengadaan suatu pasar swalayan menyatakan bahwa rata-ratapermintaan setiap hari untuk keju kraft adalah 100 satuan. Untuk mendapatkan keuntungan optimal, stock barang harus direncanakan sebaik mungkin; oleh karena itu dilakukan pengamatan selama sebulan (30 hari). Dari hasil pengamatan diperoleh rata-rata yang terjual setiap hari adalah 101,5 dengan simpangan baku 9,9. Ujilah pernyataan bagian pengadaan barang tersebut untuk tingkat kepercayaan 99%. Asumsikan populasi berdistribusi normal.

2.  Waktu rata-rata dibutuhkan seorang mahasiswa untuk mendaftar ulang pada semester ganjil disuatu perguruan tinggi adalah 50 menit. Suatu prosedur pendaftaran baru yang menggunakan system baru sedang dicoba. Bila 12 mahasiswa yang diambil secara acak memerlukan waktu pendaftaran rata-rata 42 menit dengan simpangan baku 11,9 menit dengan menggunakan system baru, ujilah hipotesis bahwa nilai tengah (rata-rata) populasinya sekarang kurang dari 50 menit.

Gunakan taraf nyata uji 5%. Asumsikan bahwa populasi waktu yang diperlukan berdistribusi normal.

  

3.  Sebuah perusahaan aki mobil mengatakan bahwa umur aki yang diproduksinya mempunyai simpangan baku 0,9 tahun (ingat ! variansi = kuadrat dari simpangan baku). Bila suatu contoh acak 10 aki menghasilkan simpangan baku s = 1,2 tahun, apakah menurut Anda simpangan baku umur aki perusahaan ini lebih besar dari 0,9 tahun.

4. Sebuah pelajaran matematika diberikan kepada 12 siswa dengan metode pengajaran yang biasa. Kelas lain yang terdiri atas 10 siswa diberi pelajaran yang sama tetapi dengan menggunakan metode yang menggunakan bahan yang telah diprogramkan. Pada akhir semester kedua kelas itu diberikan jian yang sama. Kelas pertama mencapai nilai rata-rata 85 dengan simpangan baku 4, sedangkan kelas kedua memperoleh nilai rata-rata 81 dengan simpangan baku 5. Beralasankah bila diasumsikan varaiansi kedua populasi di atas sama.

Catatan:

Gunakan uji kesamaan dua variansi

Hipotesisnya . H0:  =  melawan H1: ¹

Ingat: variansi sama dengan kuadrat dari simpangan baku

5.  Kita ingin menguji bahwa distribusi jenis kelamin laki-laki dan perempuan adalah sama. Sebuah sample acak terdiri atas 4800 orang mengandung 2458 laki-laki. Dalam taraf nyata 0,05, betulkah distribusi kedua jenis kelamin itu sama?

6.  Seorang pejabat mengatakan bahwa paling banyak 60% anggota masyarakat termasuk golongan A. Sebuah sample acak telah diambil yang terdiri atas 8500 orang dan ternyata 5426 termasuk golongan A. Apabila taraf nyata 0,01, benarkah pernyataan tersebut.